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http://tsigeto.info/2020/statu/u200626.html
田中重人 (東北大学文学部准教授) 2020-06-26

第9講　分散分析

[配布資料PDF版]

[テーマ] 分散分析 (ANOVA) の考えかたと計算方法を理解する

前回課題について

選択肢が4つ以上の項目を選ぶこと
正規分布に近似しているか確認すること (単峰性、偏り、集中度)
グラフの縦軸の単位

分散分析の考えかた

グループ別の平均値を当てはめて仮想の分散を求める分析法を「分散分析」(ANOVA：ANalysis Of VAriance) という。

従属変数 (dependent variable) と独立変数 (independent variable)

相関比 (イータ) の性質：

最小値:
最大値:

大きさの評価基準は、Cramerの連関係数Vと同様。

なぜ相関比を求めると、平均値を比較していることになるのか?

課題

次のデータ (10人) について、分散分析を行なう

男性: 1, 2, 3, 3, 4
女性: 2, 3, 4, 4, 5

まず手計算 (またはExcel) で考えてみて、そのあと、PSPPにデータを入力して検算する。

全体の平均値とSDを求める
男女別の平均値を求める
男性の平均値×5人と女性の平均値×5人からなる仮想データを考えてSDを求める
(3) のSDを (1) のSDで割ったものが相関比η

この相関比がなぜ「平均値の比較」の指標になるかを考えること。

相関比とエフェクトサイズの関係

相関比ηとエフェクトサイズESの間にはつぎの関係がある (n₁, n₂ は各グループの度数、N = n₁ + n₂ は全体の度数)。

ES² = (η² /(1－η²) ) × ( N² / n₁ n₂ )

特に、2グループの度数が等しい (n₁=n₂) なら、この式は次のようになる。

ES² = 4η² /( 1－η² )

(グループの度数が違えば、ESはこれより大きくなる)

さらに、ηがあまり大きくない (η<0.4 程度) 場合であれば、次のような単純な式で近似できる：

ES = 2η

モデルとデータの乖離

相関比ηは、モデルとデータの乖離を表した値と解釈できる

「モデル」は何か？
データとの乖離はどうやって計算しているか?
係数の取りうる値の範囲は?

表の書きかた

各層と全体の平均値と標準偏差 (測定水準の2桁下まで)
各層と全体の人数
相関比またはエフェクトサイズ (小数第3位まで)
欠損数とその原因

グラフの書きかた

平均値をプロットし、上下にSDを表示する。誤差範囲 (error bar; 別名「ヒゲ」) にはSD以外を書く場合もあるので、必ず「±標準偏差」であることを明記する。

Excel では

PSPP 出力を (HTML形式でファイルに書き出して) シートにはりつける
折れ線グラフを描く
メニューの「レイアウト」から「誤差範囲」→「その他の誤差範囲オプション」をえらぶ
「ユーザ設定」→「値の指定」
「正の誤差の値」「負の誤差の値」にSDが入っているセル範囲を指定 (おなじものでよい)

より詳細に分布の違いを検討したいときは、グループ別に度数ポリゴン (または折れ線グラフ) を描いてもよい。

文献

奥村晴彦 (2016)「効果量，Cohen's d，検出力，検出限界」 <https://oku.edu.mie-u.ac.jp/~okumura/stat/effectsize.html>

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第9講 分散分析