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http://www.sal.tohoku.ac.jp/~tsigeto/2014/statg/g141030.html
田中重人 (東北大学文学部准教授) 2014-10-30

第5講　相関係数 (2)

[配布資料PDF版]

[テーマ] ピアソンの積率相関係数と相関係数行列

積率相関係数類

変数の標準化

平均＝0, 標準偏差＝1 になるよう変換する。これで単位を気にせずに、変数同士の値を比較できるようになる

具体的には: ( その個体の値－平均値 ) / SD (→ 教科書 pp. 129, 130)

Pearson の積率相関係数

標準化済みの変数 X, Y について、それらの積の平均をとったもの：

\begin{equation} r = \frac{\sum XY}{N} \end{equation}

通常、単に「相関係数」といえばこの r をさす

欠点：はずれ値や歪みに弱い

Spearmanの順位相関係数

先に各変数を順位に変換しておく。あとの計算は、Pearsonの積率相関係数とおなじ。

$ r_s $ または ρ であらわす。

SPSSコマンド

メニューの「分析」→「相関」→「2変量」を選択
変数を指定する／相関係数の種類をチェック

クロス表の「統計量」でも出せる (「統計量」オプションで「相関係数」を選ぶと、Pearson の r と Spearman の ρ が両方でてくる)。

相関係数類の使いわけ

順序尺度の場合: Kendall のタウb または Spearman の ρ
間隔尺度の場合
- 正規分布なら → Pearson の r
- 歪みや外れ値 → Spearman の ρ

相関係数が 0 または ±1 になるのはどのような場合か?

Goodman-Kruskalのγ:
Kendall のタウb:
Pearson の r:
Spearman の ρ:

相関係数の検定

Pearson の r の信頼区間は、「Fisherの z 変換」と呼ばれる方法で求められる (森・吉田 1990)。この信頼区間に r=0 が含まれるかを判断すれば、統計的検定がおこなえる。

ただし、この方法で正確に信頼区間を求めるのは面倒なので、通常は t 分布を利用した検定だけをおこなう (教科書巻末の数表参照)。 Spearman の順位相関係数ρについても、おなじ方法が使える。

Kendall の順位相関係数タウbについての推定・検定は別の方法を使う (Bohrnstedt and Knoke, 1992) が、省略。 r に関する t 検定より検定力が低いことに注意。

課題

SPSS の「クロス集計表」で、Kendall のタウb がプラスになる表とマイナスになる表を出力し、クロス表の％を見て解釈する
教科書 p.75 練習問題3-3 の表について、Pearson の r, Spearman の ρ, Kendall の τb を計算する。途中経過がわかるように書くこと。

文献

池田央 (編) (1989)『統計ガイドブック』新曜社
森敏明・吉田寿夫 (1990)『心理学のためのデータ解析テクニカルブック』北大路書房。
Bohrnstedt, G. W. and Knoke, D. (1992)『社会統計学』(海野道郎・中村隆監訳、学生版) ハーベスト社.

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TANAKA Sigeto

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第5講 相関係数 (2)