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http://www.sal.tohoku.ac.jp/~tsigeto/2015/statg/g151029.html
田中重人 (東北大学文学部准教授) 2015-10-29

第4講　相関係数 (1)

[配布資料PDF版]

[テーマ] 順位相関係数

前回課題について

比率の差については、第2講資料の正規分布を利用した信頼区間の幅が x より狭くなる条件を求めればよい。

平均値の差については、前期第12講の平均値の差の信頼区間の公式を当てはめればよい。 n人を半分ずつの人数に分けるとすると、95％信頼区間の幅は

2 × 3.92 × SD / √n

この幅の半分が x より小さいと有意な差が出ることになるので、

x > 3.92 × SD / √n

n > 15.37 (SD/x)² = 15.37 × 1/ES²

第2講資料の「平均値の信頼区間」の幅が x より小さい、と考えて求めても同じ値になる。

※ これは簡略な求め方で、実際には、人数が均等に分かれていなかったり、自由度や併合SDなどの問題があるため、正確に計算するのは相当面倒である。永田 (2003) を参照。

調査規模の目安として、つぎのことをおぼえておくとよい：

100ケースで有意差がでるのは: 比率の20%以上の差、エフェクト・サイズが0.4以上になるような平均値の差
400ケースで有意差がでるのは: 比率の10%以上の差、エフェクト・サイズが0.2以上になるような平均値の差

尺度水準と分析法

名義×名義 → クロス表
名義×間隔 → 分散分析・平均値の比較
順序×順序 → 順位相関係数 (rank correlation coefficient)
- Goodman-Kruskalの γ
- Kendall の τ $_b$
- Spearman の r $_s$ (ρ と書くこともある)
間隔×間隔 → 積率相関係数 (product-moment correlation coefficient)
- Pearson の r

相関係数とは

ふたつの変数どうしが正 (＋) の関係にあるか、負 (－) の関係にあるかを、－1 ～＋1 の範囲の値であらわす。

無関連のときゼロ
完全な関連のとき±1

「相関図」(または「散布図」(scattergram) ともいう) を描いて考えるとよい (教科書 p. 75)。

順位相関係数

Pair

相関図上の任意の2点を直線で結んだとき

右上がり → Concordant
左上がり → Discordant

それぞれのペアの個数を C, D とする。

グッドマンとクラスカルの「ガンマ」係数

Goodman-Kruskal's γ = (C-D)/(C+D)

同順位ペアをうまく扱えないので、あまり使われない

ケンドールの順位相関係数 (タウb)

K: xについて同順位でないペア数
L: yについて同順位でないペア数
Kendall's τ_b = (C-D)/√KL

同順位ペアがなければ、Goodman-Kruskalのγと同じ値になる。

SPSSコマンド

クロス表の「統計量」オプション →「Kendall のタウb」を選択

課題

(x, y) の値がつぎの組み合わせであるような6人の標本があるとする：

( 1, 2 ) ( 2, 4 ) ( 2, 4 ) ( 4, 3 ) ( 4, 5 ) ( 5, 5 )

この標本について、Kendall の順位相関係数タウbを求めよ。

次回予習

教科書の第3章、第8章7節を読んでおくこと。

文献

永田靖 (2003)『サンプルサイズの決め方』朝倉書店. {ISBN:4254126654}

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TANAKA Sigeto

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第4講 相関係数 (1)